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设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).证明:方程fn(x)=1有唯一的正根xn;
设fn(x)=x+x2+…+xn(n≥2).证明:方程fn(x)=1有唯一的正根xn;
admin
2022-10-09
29
问题
设f
n
(x)=x+x
2
+…+x
n
(n≥2).证明:方程f
n
(x)=1有唯一的正根x
n
;
选项
答案
令φ
n
(x)=f
n
(x)-1,因为φ
n
(0)=-1<0,φ
n
(1)=n-1>0,所以φ
n
(x)在(0,1)∈(0,+∞)内有一个零点,即方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有一个根,因为φ’
n
(x)=1+2x+…+nx
n-1
>0,所以φ
n
(x)在(0,+∞)内单调增加,所以φ
n
(x)在(0,+∞)内的零点唯一,所以方程f
n
(x)=1在(0,+∞)内有唯一正根,记为x
n
.
解析
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考研数学三
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