2. 考研
  3. 设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．

设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0． (Ⅰ)求矩阵A； (Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．

admin2021-03-10  42
问题 设f(x1，x2，x3)＝XTAX，其中A为3阶实对称矩阵，A93＝0，又｜2E＋A｜＝0．
(Ⅰ)求矩阵A；
(Ⅱ)求正交变换X＝QY，使得二次型XTAX化为标准形．
选项
答案由｜2E＋A｜＝0得λ1＝－2为矩阵A的特征值； 由A[*]＝0得A[*] 即λ2＝λ3＝0为矩阵A的特征值，其对应的线性无关的特征向量为α2＝[*]． 令λ1＝－2对应的特征向量为α1＝[*]， 因为A为实对称矩阵，所以[*]即[*] λ1＝－2对应的线性无关的特征向量为α1＝[*] 令P＝[*]，由P－1AP＝[*]得 A＝P[*] (Ⅱ)因为α2＝[*]正交，所以α1，α2，α3两两正交， 令γ1＝[*] 取Q＝[*]
解析
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考研数学二

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