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设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’"(ξ)=2.
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’"(ξ)=2.
admin
2022-10-09
30
问题
设f(x)在[0,2]上三阶连续可导,且f(0)=1,f’(1)=0,f(2)=5/3.证明:存在ξ∈(0,2),使得f’"(ξ)=2.
选项
答案
先作一个函数P(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d,使得P(0)=f(0)=1,P’(1)=f’(1)=0,P(2)=f(2)=5/3,P(1)=f(1).则P(x)=x
3
/3+[1/3-f(1)]x
2
+[2f(1)-5/3]+1,令g(x)=f(x)=P(x),则g(x)在[0,2]上三阶可导,且g(0)=g(1)=g(2)=0,所以存在c
1
∈(0,1),c
2
∈(1,2),使得g’(c
1
)=g’(1)=g’(c
2
)=0,又存在d
1
∈(c
1
,1),d
2
∈(1,c
2
)使得g"(d
1
)=g"(d
2
)=0,再由罗尔定理,存在ξ∈(d
1
,d
2
)∈(0,2),使得g’"(ξ)=0,而g’"(x)=f’"(x)-2,所以f’"(ξ)=2.
解析
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考研数学三
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