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设实对称矩阵求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵,并问a满足什么关系时,矩阵A+E正定?
设实对称矩阵求可逆矩阵P,使P一1AP为对角矩阵,并问a满足什么关系时,矩阵A+E正定?
admin
2017-07-11
12
问题
设实对称矩阵
求可逆矩阵P,使P
一1
AP为对角矩阵,并问a满足什么关系时,矩阵A+E正定?
选项
答案
由 [*] 得矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=a+1,λ
3
=a一2. 对于λ
1
=λ
2
=a+1,求解方程组[(a+1)E—A]x=0的基础解系,可得λ
1
=λ
2
=a+1对应的特征向量为α
1
=(1,1,0)
T
,α
2
=(1,0,1)
T
.对于λ
2
=a一2,求解方程组[(a一2)E—A]x=0的基础解系,可得λ
3
=a一2对应的特征向量为α=(一1,1,1)
T
. [*] 因为矩阵A+E的特征值为a+2,a+2,a一1,由a+2>0,a一1>0,得a>1,故a>1时,实对称矩阵A+E是正定矩阵.
解析
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考研数学三
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