已知A是3阶矩阵,α(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aαi=iαi(i=1,2,3),令α=α1+α2+α3 证明:α,Aα,A2α线性无关;

admin2014-02-06  41

问题 已知A是3阶矩阵,α(i=1,2,3)是3维非零列向量,若Aαi=iαi(i=1,2,3),令α=α123
证明:α,Aα,A2α线性无关;

选项

答案由Aα11,Aα2=2α2,Aα3=3α3,且α123非零可知,α123是A的不同特征值的特征向量,故α123线性无关.又Aα=α1+2α2+3α3,A2α=α1+4α2+9α3,若k1α+k2Aα+k3A2α=0,即k1123)+k21+2α2+3α3)+k31+4α2+9α3)=0,则(k1+k2+k31+(k1+2k2+4k32+(k1+3k2+9k33=0.由α123线性无关,得齐次线性方程组[*]因为系数行列式为范德蒙行列式且其值不为0,所以必有k1=k2=k3=0,即α,Aα,A2α线性无关.

解析
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