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  3. 设A为n阶实对称矩阵，AB＋BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。

设A为n阶实对称矩阵，AB＋BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。

admin2015-11-16  30
问题 设A为n阶实对称矩阵，AB＋BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。
选项
答案证 由正定矩阵的定义知，对任意X≠0，有 XT(AB＋BTA)X＝XTABX＋XTBTAX＝XTATBX＋(BX)TAX ＝(AX)T(BX)＋(BX)T(AX)＞0。 因而对任意X≠0有AX≠0，即齐次线性方程组AX＝0只有零解，故r(A)＝n，即A为可逆矩阵。
解析 [证题思路]  由题设知，对任意X≠0，有XT(AB＋BTA)X＞0。由此可推得对任意X≠0，有AX≠0，从而A可逆。
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考研数学一

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