设f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，证明

admin2016-01-11 28

问题设f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，证明

选项

答案由f(x)＞0知∫₀¹xf(x)dx＞0，∫₀¹f(x)dx＞0．从而为证明此不等式只须证∫₀¹xf²(x)dx∫₀¹f(x)dx≤∫₀¹f²(x)dx∫₀¹xf(x)dx．故令 I=∫₀¹f²(x)dx∫₀¹xf(x)dx一∫₀¹xf²(x)dx∫₀¹f(x)dx =∫₀¹xf(x)dx∫₀¹f²(y)dy一∫₀¹f(x)dx∫₀¹yf²(y)dy [*] 其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}．由于D关于y=x对称，则[*] 以上两式相加，得[*] 由于f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0，所以当y≤x时f(y)≥f(x)，因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0；当y≥x时f(y)≤f(x)，因而f(x)f(y)(x-y)[f(y)-f(x)]≥0．故2I≥0即I＞0，因此所要证明的不等式成立．

解析

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