设向量组α1,α2,α3线性无关，向量β1可由向量组α1,α2,α3线性表示，而向量β2不能由α1,α2,α3线性表示，则对于任意常数k，必有( )

admin2019-05-17 41

问题设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，向量β₁可由向量组α₁,α₂,α₃线性表示，而向量β₂不能由α₁,α₂,α₃线性表示，则对于任意常数k，必有( )

选项 A、α₁,α₂,α₃，kβ₁+β₂线性无关．
B、α₁,α₂,α₃，kβ₁+β₂线性相关．
C、α₁,α₂,α₃，β₁+kβ₂线性无关．
D、α₁,α₂,α₃，β₁+kβ₂线性相关．

答案A

解析本题考查向量组线性相关与线性无关的概念及相关定理．由于α₁,α₂,α₃线性无关，若α₁,α₂,α₃，kβ₁+β₂线性相关，则kβ₁+β₂可由α₁,α₂,α₃线性表示，而kβ₁可由α₁,α₂,α₃线性表示，从而β₂可由α₁,α₂,α₃线性表示，与题设矛盾．
因此α₁,α₂,α₃，kβ₁+β₂线性无关，选项A正确，选项B不正确．
当k=0时，选项C不正确．当k=1时，选项D不正确．

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考研数学二

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