2. 考研
  3. 设A，B是n阶矩阵． (Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB＝A，必有B＝E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB＝A； (Ⅱ)设A＝，求所有的B，使得AB＝A．

设A，B是n阶矩阵． (Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB＝A，必有B＝E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB＝A； (Ⅱ)设A＝，求所有的B，使得AB＝A．

admin2019-01-24  24
问题 设A，B是n阶矩阵．
(Ⅰ)A是什么矩阵时，若AB＝A，必有B＝E．A是什么矩阵时，有B≠E，使得AB＝A；
(Ⅱ)设A＝，求所有的B，使得AB＝A．
选项
答案(Ⅰ)当A是可逆矩阵时，若AB＝A，两端右乘A－1，必有B＝E；当A不可逆时，有B≠E，使得AB＝A．因A不可逆时Ax＝0有非零解，设Aξi＝0(i＝1，2，…，n)，合并得A(ξ1，ξ2，…，ξn)＝O，令((ξ1，ξ2，…，ξn)＝B－E，即B＝(ξ1，ξ2，…，ξn)＋E≠E，则A(B－E)＝O，得AB＝A，其中B－E≠O，B≠E． (Ⅱ)[*]，则 [*]，其中k，l是任意常数． [*]，k，l是任意常数，即[*]时，使得AB＝A的所有的B(因A(B－E)＝0，故有AB＝A)．
解析
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考研数学一

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