2. 考研
  3. 设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B-E)x=0没有非零解．

设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B-E)x=0没有非零解．

admin2021-02-25  32
问题 设A、B为3阶相似非零实矩阵，矩阵A=(αij)满足aij=Aij(i，j=1，2，3)，Aij是aij的代数余子式，矩阵B满足｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，则矩阵A*+E可逆，方程组(B-E)x=0没有非零解．
选项
答案由aij=Aij(i，j=1，2，3)可知，A*=AT．于是 [*] 又因为A≠0，不妨假设a11≠0，所以 [*] 又由已知，A～B，所以A与B有相同的特征值，且｜B｜=｜A｜=1． 由｜E+2B｜=｜E+3B｜=0，可得B有特征值λ1=-1/2，λ2=-1/3． 设B的另一特征值为λ3，则有[*]．所以A、B的特征值为λ1=-1/2，λ2=-1/3，λ3=6．于是矩阵A*+E=AT+E=A+E的特征值为λ1+1=1/2，λ2+1=2/3，λ3+1=7全不为0，故A*+E可逆． 显然B-E的特征值为λ1-1=-3/2，λ2-1=-4/3，λ3-1=5．所以B-E可逆，故方程组(B-E)x=0没有非零解．
解析 本题主要考查如何求抽象矩阵的特征值．再利用特征值的性质证其结论．
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考研数学二

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