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  3. 设随机变量X与y相互独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y}≤2}=( )

设随机变量X与y相互独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y}≤2}=( )

admin2021-04-16  43
问题 设随机变量X与y相互独立，均服从[0，3]上的均匀分布，则P{1＜max{X，Y}≤2}=(       )
选项 A、1／3
B、4／9
C、5／9
D、2／3
答案A
解析 法一：f(x，y)=f(x)×f(y)=
{max{X，Y}≤2}→{X≤2}∩{Y≤2}，{1＜max{X，Y}}→{X＞1}∪{Y＞1}，故P{1＜max{X，Y}≤2}=P{{1＜X≤2，y≤2}∪{1＜y≤2，X≤2}}=3／9=1／3。
法二：令U=max{X，Y}，其分布函数为FU(u)=P{U≤u}=P{max{X，Y}≤u}=P{X≤u，Y≤u}。
当X，Y相互独立时，FU(u)=P{X≤u，Y≤u}=P{X≤u}P{Y≤u}=FX(u)FY(u)；
当X，Y独立同分布时，FU(u)=[FX(u)]2。
故U的概率密度为fU(u)=FU(u)-2FX(u)fX(u)=2u／9(0≤u≤3)。
所以P{1＜U≤2}==1／3。
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考研数学三

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