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(12年)(I)证明方程xn+n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
(12年)(I)证明方程xn+n-1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间内有且仅有一个实根; (Ⅱ)记(I)中的实根为xn,证明存在,并求此极限.
admin
2018-07-27
38
问题
(12年)(I)证明方程x
n
+
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间
内有且仅有一个实根;
(Ⅱ)记(I)中的实根为x
n
,证明
存在,并求此极限.
选项
答案
(I)令f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x一1(n>1),则f(x)在[*]上连续,且[*] 由闭区间上连续函数的介值定理知.方程f(x)=0在[*]内至少有一个实根. [*] f’(x)=nx
n-1
+(n一1)x
n-2
+…+2x+1>1>0. 故f(x)在[*]内单调增加. 综上所述,方程f(x)=0在[*]内有且仅有一个实根. (Ⅱ)由[*]知数列{x
n
}有界,又 x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
=1 x
n+1
n-1
+x
n+1
n
+x
n+1
n-1
+…+x
n+1
=1 因为x
n+1
n+1
>0,所以 x
n
n
+x
n
n-1
+…+x
n
>x
n+1
n
+x
n+1
n-1
+…+x
n+1
于是有 x
n
>x
n+1
.n=1,2,…, 即{x
n
}单调减少. 综上所述,数列{x
n
}单调有界.故{x
n
}收敛. [*] 令n→∞并注意到[*]<x
n
<x
1
<1,则有 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/ZXWRFFFM
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