设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得且A*α=α． (Ⅰ)求正交矩阵Q； (Ⅱ)求矩阵A．

admin2014-11-26 47

问题设A为三阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得

且A^*α=α．
(Ⅰ)求正交矩阵Q；
(Ⅱ)求矩阵A．

选项

答案(Ⅰ)显然A的特征值为λ₁=λ₂=一1，λ₃=2，A^*的特征值为μ₁=μ₂=-2，μ₃=1．因为α为A^*的属于特征值μ₃=1的特征向量，所以α是A的属于特征值λ₃=2的特征向量，令α＝α₃．令A的属于特征值λ₁=λ₂=一1的特征向量为[*] 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以一x₁一x₂+x₃=0，则A的属于特征值λ₁=λ₂=一1的线性无关的特征向量为 [*]

解析

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考研数学一

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设A，B均为n阶矩阵，A有n个互不相同的特征值，且AB=BA．证明：B相似于对角矩阵．
设A是3阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
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