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  3. 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度fV(v)．

设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求： (Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)； (Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度fV(v)．

admin2018-06-15  26
问题 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：
(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；
(Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度fV(v)．
选项
答案由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度． (Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度 f(x，y)=fX(x)fY(y) [*] 所以U=XY的分布函数为(如图3．3) [*] FU(u)=P{XY≤u}=[*]f(x，y)dxdy． 当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时， FU(u)=∫0udu∫01dy+∫u1dx∫0u／xdy=u+∫u1u／xdx=u－ulinu． 综上得 [*] (Ⅱ)公式法．记Z=X－Y=X+(－Y)，其中X与(－Y)独立，概率密度分别为 [*] 由卷积公式得Z的概率密度 fZ(z)=∫－∞+∞(z－y)f－Y(y)dy=∫－10fX(z－y)dy [*] V=|X－Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v}，易得 当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{－v≤Z≤v}=∫－vv(z)dz； 由此知，当0＜v＜1时，FV(v)=∫－v0(x+1)+∫0v(1－z)=2v－v2； 当v≥1时，FV(v)=∫－v－10dz+∫－10(z+1)dz+∫01(1－z)dz+∫1v0dz=1． 综上得FV(v) [*]
解析
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考研数学一

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