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  3. 就k的不同取值情况，确定方程x一sinx=k在开区间(0，)内根的个数，并证明你的结论．

就k的不同取值情况，确定方程x一sinx=k在开区间(0，)内根的个数，并证明你的结论．

admin2017-04-24  23
问题 就k的不同取值情况，确定方程x一sinx=k在开区间(0，)内根的个数，并证明你的结论．
选项
答案设f(x)=x一[*]sinx，则f(x)在[0，[*]]上连续． 由f’(x)=1一[*]cosx=0，解得f(x)在(0，[*])内的唯一驻点x0=arccos[*] 由于当x∈(0，x0)时，f’(x)＜0，当x∈(x0，[*])，f’(x)＞0，所以f(x)在[0，x0]上单调减少．在[x0，[*]]上单调增加，因此x0为f(x)在(0，[*])内唯一的最小值点，最小值为y0=f(x0)=x0一[*]，又因f(0)=f([*])=0，故在(0，[*])内f(x)的取值范围为(y0，0)． 因此，当k[*][y0，0)，即k＜y0或k≥0时，原方程在(0，[*])内没有根． 当k =y0时，原方程在(0，[*])内有唯一实根x0． 当k∈(y0，0)时，原方程在(0，x0)和(x0，[*])内各恰有一根，即原方程在(0，[*])内恰有两个不同的根．
解析
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考研数学二

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