在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与z轴平行.

admin2015-06-30  50

问题 在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与z轴平行.

选项

答案设所求曲线为y=y(x),该曲线在点P(x,y)的法线方程为 [*] 令y=0,得X=x+yy’,该点到x轴法线段PQ的长度为[*] 由题意得[*],即yy"=1+y’2. 令y’=p,则[*],两边积分得[*],由y(1)=1,y’(1)=0得C1=0,所以[*],变量分离得[*],两边积分得[*]=±x+C2,由y(1)=1得C2=[*] [*] 两式相加得[*]

解析
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