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  3. 求一曲线，使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2，且曲线过(a，a)点．

求一曲线，使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2，且曲线过(a，a)点．

admin2012-01-29  60
问题 求一曲线，使曲线的切线、坐标轴与切点的纵坐标所围成的梯形面积等于a2，且曲线过(a，a)点．
选项
答案设所求曲线为y＝f(x)．由题设，作出所围梯形如图9—1中阴影部分所示．由于过曲线y＝f(x)上点(x，y)的切线方程为 Y－y＝fˊ(x)(X－x) 令Y＝0，得切线在x轴上的截距X＝x－y／yˊ，此为梯形的下底长． 又由于梯形上底长为x，高为y，因此梯形面积 [*] 即 2(xy－a2)yˊ＝y2 注意到x为一次幂，可把x看成y的函数，上述方程可化为 y2dx／dy－2yx＝－2a2。 此为一阶线性方程．由公式可求其通解为 x＝cy2＋2a2／3y． 又曲线过(a，a)点，即满足初始条件y︳x＝a＝a，代入上通解，得c＝1／(3a)，故所求曲线方程为 x＝y2／(3a)＋(2a2)／(3y)
解析
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考研数学二

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