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  3. 设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

设有齐次线性方程组 试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．

admin2020-03-05  16
问题 设有齐次线性方程组

试问a取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解．
选项
答案对方程组的系数矩阵A作初等行变换： [*] (1)当a=0时，r(A)=1＜n，故方程组有非零解，其同解方程组为 x1+x2+…+xn=0 由此得基础解系为 ξ1=(一1，1，0，…，0)T，ξ2=(一1 0，1，…，0)T，…，ξn—1=(一1，0，0，…，1)T，于是方程组的通解为 x=k1ξ1+k2ξ2+…+kn—1ξn—1，其中k1，…，kn—1，为任意常数． (2)当a≠0时，对矩阵B作初等行变换： [*] 可知a=一[*]时，r(A)=n一1＜n．故此时方程组也有非零解，方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=2x1，x3=3x1，…，xn=nx1 (x1任意)， 由此得基础解系为 ξ=(1，2，3，…，n)T 于是方程组用基础解系表示的通解为 x=kξ，其中k为任意常数．
解析 对n元齐次线性方程组Ax=0，当r(A)=r＜n时有非零解，此时，为了求出基础解系，应先求出方程组的用自由未知量表示的通解，然后在这个通解中依次令n一r个自由未知量分别取值为1，0，…，0；0，1，…，0；…；0，0，…，1，则所得到的n一r个解ξ1，ξ2，…ξn—r，就是方程组的一个基础解系．那么，究竟怎样来选取自由未知量呢?其一般原则是：先在系数矩阵中找到一个r阶非零子式(由r(A)=r知这样的非零子式必存在)，则可将与这个子式对应的r个未知量作为约束未知量，从而方程组的其它n一r个未知量自然就是自由未知量了，解出由自由未知量表示约束未知量的表达式，就是用自由未知量表示的通解．例如，本题中当a=一时，r(A)=n一1，系数矩阵所化成的矩阵C的右下角的n一1阶子矩阵是一个单位矩阵，因此就可选对应的未知量x1，x2，…xn为约束未知量，从而x1自然就是自由未知量，再通过移项，即求得用自由未知量表示的通解：x2=2x1，x3=3x1，…，xn=nx1，自由未知量只有一个，因而令x1=1，即得基础解系ξ=(1，2，…，n)T．
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