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设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
设A,B为同阶方阵。 (Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等; (Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立; (Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
admin
2017-01-14
58
问题
设A,B为同阶方阵。
(Ⅰ)若A,B相似,证明A,B的特征多项式相等;
(Ⅱ)举一个二阶方阵的例子说明(Ⅰ)的逆命题不成立;
(Ⅲ)当A,B均为实对称矩阵时,证明(Ⅰ)的逆命题成立。
选项
答案
(Ⅰ)若A,B相似,那么存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B,则 |λE-B|=|λE-P
-1
AP|=|P
-1
λEP-P
-1
AP| =|P
-1
(λE-A)P|=|P
-1
||λE-A||P|=|λE-A|。 所以A、B的特征多项式相等。 (Ⅱ)令A=[*],那么|λE-A|=λ
2
=|λE-B|。但是A,B不相似。否则,存在可逆矩阵P,使P
-1
AP=B=O,从而A=POP
-1
=O与已知矛盾。也可从r(A)=1,r(B)=0,知A与B不相似。 (Ⅲ)由A,B均为实对称矩阵知,A,B均相似于对角阵,若A,B的特征多项式相等,记特征多项式的根为λ
1
,…,λ
n
,则有 [*] 所以存在可逆矩阵P,Q,使P
-1
AP=[*]=Q
-1
BQ。 因此有(PQ
-1
)
-1
A(PQ
-1
)=B,矩阵A与B相似。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/XfwRFFFM
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考研数学一
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