2. 考研
  3. 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明：α，Aα线性无关； (2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量． (1)证明：α，Aα线性无关； (2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2022-04-07  73
问题 设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
(1)证明：α，Aα线性无关；
(2)若A2α+Aα-6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；
选项
答案(1)若α，Aα线性相关，则存在不全为零的数k1，k2，使得k1α+k2Aα=0，显然k2≠0，所以Aα=-(k1/k2)，与已知矛盾，所以α，Aα线性无关． (2)由A2α+Aα-6α=0．得(A2+A-6E)α=0， 因为α≠0，所以r(A2+A-6E)＜2，从而|A2+A-6E|=0，即 |3E+A|·|2E-A|=0，则|3E+A|=0或|2E-A|=0． 若|3E+A|≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E-A)α=0，得 (2E-A)α=0，即Aα=2α，矛盾； 若|2E-A|≠0，则2E-A可逆，由(2E-A)(3E+A)α=0，得 (3E+A)α=0，即Aa=-3α，矛盾，所以有|3E+A|=0且|2E-A|=0，于是二阶矩阵A有两个特征值-3，2，故A可对角化．
解析
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考研数学三

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