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[2010年] 求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．

admin2019-03-30  45
问题 [2010年]  求函数u=xy+2yz在约束条件x2+y2+z2=10下的最大值和最小值．
选项
答案解一 用拉格朗日乘数法求之．令F(x，y，z)=xy+2yz+λ(x2+y2+z2－10)．且令 [*] 由式①、式③分别得λ=－y／(2x)，λ=－y／z，故 y／(2x)=y／z， 即 z=2x． ⑤ 将式⑤代入式②得到 5x+2λy=0， 即 λ=－5x／(2y) (y≠0)． ⑥ 由式⑥和λ=－y／(2x)得到 λ=－5x／(2y)=－y／(2x)， 即 5x2=y2． ⑦ 将式⑤、式⑦代入式④，得到10x2=10，即x2=1，x=±1． 当x=1时，z=2，[*]当x=－1时，z=－2，[*] 令y=0，由式②、式④得到x=－2z，4z2+z2=5z2=10．即[*]故[*]也是可能极值点． 综上所述，得到可能的极值点有[*] 比较u在各点处的值可知，在点[*]处取得最大值，最大值为[*]在点[*]处取得最小值，最小值为[*]故所求函数u的最大值和最小值分别为[*] 解二 由方程x2+y2+z2=10可确定z是x，y的函数，代入目标函数，得u为x，y的二元函数． 令[*] 在x2+y2+z2=10两边对x，y求导，得到[*]将其代入上式并联立方程④，有 [*] 解上述方程组，得到可能的最值点为 [*] 比较u的各点函数值得到[*]为最大值，[*]为最小值．
解析
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考研数学三

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