2. 考研
  3. 设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段 的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段 的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1． (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程； (Ⅱ)导出y(x

admin2020-01-15  29
问题 设xOy平面第一象限中有曲线，Γ：y=y(x)，过点A(0，－1)，y’ (x)>0．又M(x，y)为Γ上任意一点，满足：弧段
的长度与点M处Γ的切线在x轴上的截距之差为－1．
    (Ⅰ)导出y=y(x)满足的积分、微分方程；
    (Ⅱ)导出y(x)满足的微分方程和初始条件；
    (Ⅲ)求曲线Γ的表达式．
选项
答案(Ⅰ)先求出Γ在点M(x，y)处的切线方程 Y－y(x)=y’(x)(X－x)， 其中(X，Y)是切线上点的坐标．在切线方程中令Y=0，得x轴上的截距 [*] 这是y(x)满足的积分、微分方程． (Ⅱ)两边对x求导，就可转化为二阶微分方程： [*] 又由条件及①式中令x=0得 y(0)=[*]－1， y’(0)=1． 因此得y(x)满足的二阶微分方程的初值问题 [*] 问题①与②是等价的． (Ⅲ)下面求解②．这是不显含x的二阶方程，作变换p=y’，并以y为自变量得 [*]
解析
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考研数学一

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