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  3. 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式 [xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy 为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式 [xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy 为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．

admin2018-07-26  25
问题 设f(x)具有一阶连续导数，f(0)＝0，且表达式
    [xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy
为某可微函数u(x，y)的全微分．求f(x)及u(x，y)．
选项
答案由题设知存在可微函数u(x，y)，使du(x，y)＝[xy(1＋y)一f(x)y]dx＋[f(x)＋x2y]dy， 于是知[*] 又因f(x)具有一阶连续导数，故[*]连续且相等，于是有 [*] 即f＇(x)＋f(x)＝x，此为一阶线性微分方程，结合条件f(0)＝0解得f(x)＝x一1＋e-x． 所以 du(x，y)＝[xy(1＋y)一y(x一1＋e-x)]dx＋(x－1＋e-x＋x2y)dy ＝(xy2＋y—ye-x)dx＋(x－1＋e-x＋x2y)dy． 由du(x，y)的表达式求u(x，y)有多种方法． 法一 凑原函数法．此方法有技巧性，要求读者对用微分形式不变性求微分相当熟练． [*] 所以[*](C为任意常数). 法二 偏积分法．由du(x，y)的表达式知 [*] 所以[*] 其中ψ(y)对y可微．由题设知[*] 于是有[*] 则ψ(y)＝一1，即ψ＇(y)＝－y＋C(C为任意常数)． 所以[*](C为任意常数) 法三 用第二型曲线积分求原函数．由所给的du(x，y)知，它的[*]中的P(x，y)与Q(x，y)在全平面具有连续的一阶偏导数且 [*] 故可以用第二型曲线积分，取起点为(0，0)较方便，计算 [*] 由于此曲线积分与路径无关，取折线(0，0)→(0，y)→(x，y)，于是 [*] 所以u（x,y）＝1/2 x2y2＋xy＋ye-x一y＋C(C为任意常数)．
解析
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考研数学一

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