(2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A3=0，则( )．

admin2021-01-15 3

问题 (2008年试题，一)设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若A³=0，则( )．

选项 A、E—A不可逆，E+A不可逆
B、E—A不可逆，E+A可逆
C、E一A可逆，E+A可逆
D、E—A可逆，E+A不可逆

答案C

解析由A³=0可得E—A³=(E一A)(E+A+A²)=E和E+A³=(E+A)(E一A+A²)=E显然｜E—A｜≠0，｜E+A｜≠0，所以E一A和E+A均可逆．故应选C．解析二由A³=0知，A的任意特征值满足λ³=0，即λ=0是A的n重特征值，从而λ=是E一A和E+A的n重特征值，即二者的特征值均不为0．故E一A和E+A均可逆。正确答案为C．

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