设A，B为n阶方阵，｜B｜≠0，若方程｜A-λB｜=0的全部根λ1，λ2，…，λn互异，αi分别是方程组(A-λiB)x=0的非零解，i=1，2，…，n，证明α1，α2，…，αn线性无关。

admin2021-07-27 23

问题设A，B为n阶方阵，｜B｜≠0，若方程｜A-λB｜=0的全部根λ₁，λ₂，…，λ_n互异，α_i分别是方程组(A-λ_iB)x=0的非零解，i=1，2，…，n，证明α₁，α₂，…，α_n线性无关。

选项

答案由｜B｜≠0，在｜A-λB｜=0两端左乘｜B^-1｜，有｜B^-1A-λE｜=0，即｜λE-B^-1A｜=0，于是λ₁，λ₂，…，λ_n是矩阵B^-1A的n个互异特征值．又在(A-λ_iB)x=0两端左乘B^-1，有(B^-1A-λ_iE)x=0，即(λ_iE-B^-1A)x=0，故α₁，α₂，…，α_n为B^-1A的对应于λ₁，λ₂，…，λ_n的特征向量，α₁，α₂，…，α_n线性无关．

解析

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考研数学二

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