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求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值.
求函数z=x4+y4-x2-2xy-y2的极值.
admin
2020-03-10
40
问题
求函数z=x
4
+y
4
-x
2
-2xy-y
2
的极值.
选项
答案
[*] 因此函数的驻点为(1,1),(-1,-1),(0,0). 在(1,1)处,A=10>0,B=-2,C=10>0,AC—B
2
=96>0,故(1,1)是极小值点,z(1,1)=-2是函数的极小值. 在(-1,-1)处,A=10>0,B=-2,C=10>0,AC—B
2
=96>0,故(-1,-1)是极小值点,z(-1,-1)=-2是函数的极 小值. 在(0,0)处,A=-2,B=-2,C=-2,AC-B
2
=0,无法用函数取极值的充分条件判断,需用函数极值的定义判断.将函数改写成z=x
4
+y
4
-(x+y)
2
,则易知:在点(0,0)的充分小的去心邻域内,若点(x,y)位于y=-x上,则z=2x
4
>0=f(0,0);若点(x,y)位于x=0上,则z=y
2
(y
2
-1)<0=f(0,0).故(0,0)不是函数的极值点. 总之,函数的极小值为-2,没有极大值.
解析
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考研数学三
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