设常数函数f(x)=ex-ax2,证明方程f(x)=0在区间(0,+∞)内有且仅有两个实根。

admin2019-07-19  59

问题 设常数函数f(x)=ex-ax2,证明方程f(x)=0在区间(0,+∞)内有且仅有两个实根。

选项

答案在区间(0,+∞)内f(x)=ex-ax2=0,其等价于[*]可讨论φ(x)=0在(0,+∞)内的实根个数。 由于 [*] 令φ’(x)=0,得驻点x=2,列表如下: [*] 则当x=2时,φ(x)取得极小值[*]已知[*]因此φ(2)<0。显然[*]所以φ(x)=0在(0,2)和(2,+∞)上分别有且仅有一个实根,因此φ(x)在(0,+∞)内有且仅有两个实根,即f(x)在(0,+∞)上有且仅有两个实根。

解析
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