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设n阶矩阵A的秩为1，试证： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在常数μ，使得Ak=μk一1A．
设n阶矩阵A的秩为1，试证： (1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积； (2)存在常数μ，使得Ak=μk一1A．
admin
2019-04-22
39
问题
设n阶矩阵A的秩为1，试证：
(1)A可以表示成n×1矩阵和1×n矩阵的乘积；
(2)存在常数μ，使得A
k
=μ
k一1
A．
选项
答案
(1)将A以列分块，则r(A)=r(α
1
，α
2
，…，α
n
)=1表明列向量组α
1
，α
2
，…，α
n
的极大线性无关组有一个非零向量组成，设为α
i
=[α
1
，α
2
，…，α
n
]
T
(≠0)，其余列向量均可由α
i
线性表出，设为α
j
=b
j
α
i
(j=1，2，…，n，j=i时，取b
i
=1)，则 A=[α
1
，α
2
，…，α
n
]=[b
1
α
1
，b
2
α
2
，…，b
n
α
s
]=α
i
[b
1
，b
2
，…，b
s
]=[*][b
1
，b
2
，…，b
s
]。 (2)记α=α
i
=[a
1
，a
2
，…，a
s
]
T
，β=[b
1
，b
2
，…，b
s
]
T
，则 A=αβ
T
，A
k
=(αβ
T
)
k
=(αβ
T
)(αβ
T
)…(αβ
T
)=α(β
T
α)(β
T
α)…(β
T
α)β
T
． 记β
T
α=a
1
b
1
+a
2
b
2
+…+a
n
b
n
=μ，则 A
k
=αμ
k一1
β
T
=μ
k一1
A．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/SDLRFFFM
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考研数学二
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