2. 考研
  3. 设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x) 证明：∫0nTxf(x)dx＝f(x)dx(n为正整数)；

设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x) 证明：∫0nTxf(x)dx＝f(x)dx(n为正整数)；

admin2022-06-09  39
问题 设f(x)是(－∞，＋∞)内以T(T＞0)为周期的连续函数，且f(－x)＝f(x)
证明：∫0nTxf(x)dx＝f(x)dx(n为正整数)；
选项
答案用换元法 ∫0nTxf(x)dx[*]nT∫0nTf(t)dt－∫0nTtf(t)dt， 移项，得 ∫0nTxf(x)dx＝nT/2∫0nTf(x)dx 又由f(x)以T为周期，知∫0nTf(x)dx＝n∫0Tf(x)dx，故 ∫0nTxf(x)dx＝n2T/2∫0Tf(x)dx
解析
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考研数学二

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