设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

admin2020-09-25 63

问题设向量α₁，α₂，…，α_t是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

选项

答案若有一组数k，k₁，…，k_t使得kβ+k₁(β+α₁)+k₂(β+α₂)+…+k_t(β+α_t)=0，① 由于α₁，α₂，…，α_t是Ax=0的解，所以Aα_i=0(i=1，2，…，t)，用A左乘①式两端，则有 kAβ+k₁(Aβ+Aα₁)+…+k_t(Aβ+Aα_t)=0，即(k+k₁+…+k_t)Aβ=0，而Aβ≠0，所以k+k₁+…+k_t=0．而由①式整理可得：(k+k₁+…+k_t)β+k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=0，所以k₁α₁+k₂α₂+…+k_tα_t=0．因为α₁，α₂，…，α_t是基础解系，因而线性无关，所以k₁=k₂=…=k_t=0．而由k+k₁+…+k_t=0，可得k=0．所以向量组β，β+α₁，β+α₂，…，β+α_t线性无关．

解析

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考研数学三

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设向量α1，α2，…，αt是齐次方程组Ax=0的一个基础解系，向量β不是方程组Ax=0的解，即Aβ≠0，试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．

考研数学三

设A，B都是三阶矩阵，A＝且满足(A*)－1B＝ABA+2A2，则B＝______．

设u=e—xsin的值为_________．

设A=，B为三阶非零矩阵，且AB=0，则r(A)=__________．

设α=(1，-1，a)T，β=(1，a，2)T，A=E+αβT，且λ=3是矩阵A的特征值，则矩阵A属于特征值λ=3的特征向量是_________

已知方程组有无穷多解，那么a=_______

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______

设A、B分别为m、n阶正定矩阵，试判定分块矩阵C=是否正定矩阵．

设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．(1)计算并化简PQ；(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

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“同”是__________结构。(广东外语外贸大学2015)

设X～P(1)，Y～P(2)，且X，Y相互独立，则P(X＋Y＝2)＝______．

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已知方程组有无穷多解，那么a=_______

设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组Ax=0，如果矩阵A中的每行元素的和均为0，且r(A)=n-1，则方程组的通解是______

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设α1=(1，2，0)T，α2=(1，a+2，一3a)T，α3=(一1，一b一2，a+2b)T，β=(1，3，一3)T，试讨论当a，b为何值时。(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3线性表示；(Ⅱ)β可由α1，α2，α3唯一地线性表示，并求出表

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