(97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵． (1)计算并化简PQ； (2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA-1α≠b．

admin2019-03-19 43

问题 (97年)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

其中A^*是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵．
(1)计算并化简PQ；
(2)证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是α^TA^-1α≠b．

选项

答案(1)因为AA^*＝A^*A＝｜A｜I，故 [*] (2)由(1)可得｜PQ｜＝｜A｜²(b－α^TA^-1α) 而｜PQ｜＝｜P｜.｜Q｜，且由P的定义知｜P｜＝｜A｜≠0，故由上式得｜P｜＝｜A｜(b－α^TA^-1α) 由此可知｜Q｜≠0[*]b－α^TA^-1α≠0，即矩阵Q可逆[*]α^TA^-1α≠b．

解析

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考研数学三

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