若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

admin2020-01-15 48

问题若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

选项

答案因为任一个n维非零列向量均是A的特征向量，故A有n个线性无关的特征向量，从而A必与对角矩阵相似．现取n个单位向量 ε_i=(0，…，0，1，0，…，0)^T， (i=1，2，…，n) 为A的特征向量，其特征值分别为λ₁，λ₂，…，λ_n，那么令P=(ε₁，ε₂，…，ε_n)=E，有 [*] 如果λ₁≠λ₂，则A(ε₁+ε₂) =λ₁ε₁+λ₂ε₂．因为每个n维向量都是A的特征向量，又应有A(ε₁+ε₂)=λ(ε₁+ε₂)，于是 (λ₁－λ)ε₁+(λ₂－λ)ε₂=0．由于Aλ₁－λ，λ₂－λ不全为0，与ε₁，ε₂线性无关相矛盾，所以必有λ₁=λ₂．同理可知λ₁=λ₂=…=λ_n=k，故A=kE．

解析

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考研数学一

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若任一n维非零列向量都是n阶矩阵A的特征向量，证明A是数量矩阵(即A=kE，E是n阶单位矩阵)．

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设常数a＞0，积分．讨论I1与I2谁大谁小，并给出推导过程．

设A是3阶矩阵，ξ1＝(1，2，－2)T，ξ2＝(2，1，一1)T，ξ3＝(1，1，t)T是非齐次线性方程组Ax＝b的解向量，其中b＝(1，3，－2)T，则()

设A＝(α1，α2，α3，α4)，其中αi(i＝1，2，3，4)是n维列向量，已知Ax＝0的基础解系为ξ1＝(－2，0，1，0)T，ξ2＝(1，0，0，1)T，则下列向量组中线性无关的是()

设S为球面x2＋y2＋z2＝R2(常数R＞0)的上半部分，方向为上侧．则下述对坐标的曲面积分(即第二型曲面积分)不为零的是()

设A是n阶正定矩阵，X是n维列向量，E是n阶单位矩阵，记(Ⅰ)计算PW；(Ⅱ)写出二次型f＝｜W｜的矩阵表达式，并讨论f的正定性．

设二次型xTAx=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵满足AB=0．求(A一3E)6．

已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出：x=t+e-t，y=2t+e-2t(t≥0)．证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞).

设y=f(x)二阶可导，f’(x)≠0，它的反函数是x=φ(y)，又f(0)=1，f’(0)=，f’’(0)=-1，则=______．[img][/img]

若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f’’(x)0(x∈(0，1))；

(I)设f(x)=4x3+3x2一6x，求f(x)的极值点；(Ⅱ)设有x=∫0ye-t2(y∈(一∞，+∞))，它的反函数是y=y(x)，求y=y(x)的定义域及拐点．

关于淋病的护理措施，下列不正确的是

叶酸可用于治疗

能体现医生特殊于涉权的是能体现医学伦理学有利原则的是

A、20(S)-原人参二醇B、20(R)-原人参二醇C、人参二醇D、20(S)-原人参三醇E、人参三醇A型人参皂苷经酸水解后得到（）

构筑物满水试验前必须具备的条件有()。

某工厂从美国某企业购买了一批机械设备，成交条件为CIF广州，该批货物的发票列示如下：机械设备USD500000，运保费USDS000，卖方佣金USD25000，培训费USD2000，设备调试费USD2000。该批货物向海关申报的总价应是()。

发明人的下列发明创造中，应属于职务发明的是()。

根据《旅行社投保旅行社责任保险规定》，国内旅游每人责任赔偿限额人民币万元，入境旅游、出境旅游每人责任赔偿人民币万元。

马卡连柯说：“要尽量多地要求一个人，也尽可能地尊重一个人。”这体现了德育的()原则。

I’mafraidthatthereisn’t______foryouinmycar.

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