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①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt，都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(a｜B)≤r(a)＋r(B)．
①设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt，都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)＋r(β1，β2，…，βt)． ②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(a｜B)≤r(a)＋r(B)．
admin
2018-11-23
29
问题
①设α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
t
，都是n维向量组，证明r(α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
)≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)＋r(β
1
，β
2
，…，β
t
)．
②设A和B是两个行数相同的矩阵，r(a｜B)≤r(a)＋r(B)．
③设A和B是两个列数相同的矩阵，(
)表示A在上，B在下构造的矩阵．证明
r(
)≤r(A)＋r(B)．
选项
答案
这是3个互相等价的命题：①是②的向量形式；③是②的转置形式． 因此对其中之一的证明就完成了这3个命题的证明． 证明①．取{α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
}的一个最大无关组(Ⅰ)，记(Ⅰ)
1
是(Ⅰ)中属于α
1
，α
2
，…，α
s
中的那些向量所构成的部分组，(Ⅰ)
2
是(Ⅰ)中其余向量所构成的部分组．于是(Ⅰ)
1
和(Ⅰ)
2
分别是属于α
1
，α
2
，…，α
s
和β
1
，β
2
，…，β
t
的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α
1
，α
2
，…，α
s
)和r(β
1
，β
2
，…，β
s
)．从而 r(α
1
，α
2
，…，α
s
，β
1
，β
2
，…，β
t
)＝(Ⅰ)中向量个数 ＝(Ⅰ)
1
中向量个数＋(Ⅰ)
2
中向量个数 ≤r(α
1
，α
2
，…，α
s
)＋r(β
1
，β
2
，…，β
t
)．
解析
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考研数学一
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