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设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0)。 (Ⅰ)求S=SA的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积SA最小?
设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0)。 (Ⅰ)求S=SA的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积SA最小?
admin
2021-01-28
65
问题
设抛物线y=x
2
与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a
2
)(a>0)。
(Ⅰ)求S=SA的表达式;
(Ⅱ)当a取何值时,面积SA最小?
选项
答案
(Ⅰ)设另一个切点为(x
0
,x
0
2
),则抛物线y=x
2
的两条切线分别为 L
1
:y=2ax-a
2
,L
2
:y=2x
0
x-x
0
2
, 因为L
1
⊥L
2
,所以x
0
=-1/4a,两条切线L1,L2的交点为x
1
=(a+x
0
)/2,y
1
=ax
0
,L
1
,L
2
及抛物线y=x
2
所围成的面积为 SA=∫
x0
x1
[x
2
-(2x
0
x-x
0
2
)]dx+∫
x1
0
[x
2
-(2ax-a
2
)]dx=(1/12)(a+1/4a)
2
。 (Ⅱ)令S’A=(1/4)(a+1/4a)
2
(a-1/4a)
2
=0得a=1/2,因为当a∈(0,1/2)时,S’A<0,当a>1/2时,S’A>0,所以当a=1/2时,面积SA取最小值。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/R3aRFFFM
0
考研数学三
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