设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0)。 (Ⅰ)求S=SA的表达式; (Ⅱ)当a取何值时,面积SA最小?

admin2021-01-28  65

问题 设抛物线y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积记为S,其中一条切线与抛物线相切于点A(a,a2)(a>0)。
    (Ⅰ)求S=SA的表达式;
    (Ⅱ)当a取何值时,面积SA最小?

选项

答案(Ⅰ)设另一个切点为(x0,x02),则抛物线y=x2的两条切线分别为 L1:y=2ax-a2,L2:y=2x0x-x02, 因为L1⊥L2,所以x0=-1/4a,两条切线L1,L2的交点为x1=(a+x0)/2,y1=ax0,L1,L2及抛物线y=x2所围成的面积为 SA=∫x0x1[x2-(2x0x-x02)]dx+∫x10[x2-(2ax-a2)]dx=(1/12)(a+1/4a)2。 (Ⅱ)令S’A=(1/4)(a+1/4a)2(a-1/4a)2=0得a=1/2,因为当a∈(0,1/2)时,S’A<0,当a>1/2时,S’A>0,所以当a=1/2时,面积SA取最小值。

解析
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