设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫0xf(t)f’(2a-t)dt，证明： F(2a)一2F(a)=f2(a)一f(0)f(2a)．

admin2015-08-14 29

问题设函数f(x)有连续导数，F(x)=∫₀^xf(t)f’(2a-t)dt，证明： F(2a)一2F(a)=f²(a)一f(0)f(2a)．

选项

答案F(2a)一2F(a)=∫₀^2af(t)f’(2a—t)dt一2∫₀^af(t)f’(2a一t)dt =∫_a^2af(t)f’(2a-t)dt一∫₀^af(t)f’(2a-t)dt，其中∫_a^2af(t)f’(2a—t)dt=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a—t)f’(t)dt，所以原式=f²(a)一f(0)f(2a)+∫_a^2af(2a一t)f’(t)dt一∫₀^af(t)f’(2a-t)dt，又∫_a^2af(2a—t)f’(t)dt[*]∫₀^af(u)f’(2a-u)du=∫₀^af(t)f’(2a-t)dt，所以， F(2a)一2F(a)=f²(a)一f(0)f(2a)．

解析

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考研数学二

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