2. 考研
  3. (01年)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝． (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…χn)写成矩阵形式，并证

(01年)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝． (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…χn)写成矩阵形式，并证

admin2017-05-26  39
问题 (01年)设A为n阶实对称矩阵，秩(A)＝n，Aij是A＝(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j＝1，2，…，n)，二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝．
    (1)记X＝(χ1，χ2，…，χn)T，把f(χ1，χ2，…χn)写成矩阵形式，并证明二次型f(X)的矩阵为A-1．
    (2)二次型g(X)＝XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案(1)因为A为对称矩阵，所以Aij＝Aji(i，j＝1，2，…，n)．因此f(X)的矩阵形式为 [*] 因秩(A)＝n，故A可逆，且 [*] 从而 (A-1)T＝(AT)-1＝A-1 故A-1也是实对称矩阵．因此，二次型f(X)的矩阵为 [*] (2) 因为 (A-1)TAA-1＝(AT)-1E＝A-1 所以A与A-1合同，于是g(X)＝XTAX与f(X)有相同的规范形．
解析
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考研数学三

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