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(2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线，当一π

admin2013-12-18  45
问题 (2009年试题，三(20))设y=y(x)是区间(一π，π)内过点的光滑曲线，当一π’’+y+x=0，求y(x)的表达式．
选项
答案由题意，当一π2=一x2+C．又[*][*]代入y2=一x2+C中，得C=π2，从而有y2=一x2+π2．又y=y(x)是区间(一π,π)内过点[*]的光滑曲线，故[*]当0≤x<π时，y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx．设y’’+y+x=0的特解为y*=Ax+B，代入方程得(A+1)x+B=0，则A=一1，B=0，即特解为y’=一x．故可知，微分方程y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx—x．因为y=y(x)是区间(一π，π)内的光滑曲线，故其在x=0处连续且可导，且[*]所以根据y(0-)=y(0+)可得C1=π；根据y-’=(0)=y+’(0)可得C2=1综上可知，y(x)的表达式为[*]
解析
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考研数学二

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