(2009年试题,三(20))设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线,当一π

admin2013-12-18  53

问题 (2009年试题,三(20))设y=y(x)是区间(一π,π)内过点的光滑曲线,当一π’’+y+x=0,求y(x)的表达式.

选项

答案由题意,当一π2=一x2+C.又[*][*]代入y2=一x2+C中,得C=π2,从而有y2=一x22.又y=y(x)是区间(一π,π)内过点[*]的光滑曲线,故[*]当0≤x<π时,y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx.设y’’+y+x=0的特解为y*=Ax+B,代入方程得(A+1)x+B=0,则A=一1,B=0,即特解为y=一x.故可知,微分方程y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx—x.因为y=y(x)是区间(一π,π)内的光滑曲线,故其在x=0处连续且可导,且[*]所以根据y(0-)=y(0+)可得C1=π;根据y-=(0)=y+(0)可得C2=1综上可知,y(x)的表达式为[*]

解析
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