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设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。 证明当t＞0时，。
设函数f(x)连续且恒大于零， 其中Ωt={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，Dt={(x，y)｜x2+y2≤t2}。 证明当t＞0时，。
admin
2018-12-29
26
问题
设函数f(x)连续且恒大于零，
其中Ω
t
={(x，y，z)｜x
2
+y
2
+z
2
≤t
2
}，D
t
={(x，y)｜x
2
+y
2
≤t
2
}。
证明当t＞0时，
。
选项
答案
由于 [*] 要证明t＞0时F(t)＞[*]，只需证明t＞0时，[*]，即 ∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr—[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
＞0。 令 g(t)=∫
0
t
f(r
2
)r
2
dr∫
0
t
f(r
2
)dr—[∫
0
t
f(r
2
)rdr]
2
， 则 g′(t)=f(t
2
)∫
0
t
f(r
2
)(t—r)
2
dr＞0， 故g(t)在(0，+∞)内单调增加。 因为g(t)在t=0处连续，所以当t＞0时，有g(t)＞g(0)=0。 因此，当t＞0时，F(t)＞[*]
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/Qm1RFFFM
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考研数学一
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