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  3. 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．证明：在(0，π)内f(x)至少有两个零点．

设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．证明：在(0，π)内f(x)至少有两个零点．

admin2018-11-22  29
问题 设函数f(x)在[0，π]上连续，且∫0πf(x)sinxdx=0，∫0πf(x)cosxdx=0．证明：在(0，π)内f(x)至少有两个零点．
选项
答案反证法．如果f(x)在(0，π)内无零点(或有一个零点，但f(x)不变号，证法相同)，即f(x)＞0(或＜0)，由于在(0，π)内，亦有sinx＞0，因此，必有∫0πf(x)sinxdx＞0(或＜0)．这与假设相矛盾。 如果f(x)在(0，π)内有一个零点，而且改变一次符号，设其零点为a∈(0，π)，于是在(0，a)与(a，π)内f(x)sin(x一a)同号，因此∫0πf(x)sin(x一a)dx≠0．但是，另一方面 ∫0πf(x)sin(x一a)dx=∫0πf(x)(sinxcosa—cosxsina)dx =cosa∫0πf(x)sinxdx一sina∫0πf(x)cosxdx=0. 这个矛盾说明f(x)也不能在(0，π)内只有一个零点，因此它至少有两个零点．
解析
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