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  3. 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．

设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则( )．

admin2020-02-28  35
问题 设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则(    )．
选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数
D、当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数
答案A
解析 利用f(x)的所有原函数的性质判别．
    f(x)的所有原函数可写为
       
它有下述常用的性质：
     (1)若f(x)是奇函数，则必为偶函数；
     (2)若f(x)为偶函数，则只有当c=0时，才为奇函数；
     (3)若f(x)为周期函数，则存在常数T，使得对任意x，有f(x+T)=f(x)，而
   
即只有时，F(x)才是周期函数；
     (4)若f(x)为单调增函数，对任意x1，x2，不妨设x1＜x2，有f(x1)＜f(x2)，而
       
要想F(x)是单调增函数，则应有，而由x1，x2的任意性，且设x1＜x2时，必须有f(x)＞0才行．
    解一  设
       
若f(x)为奇函数，则
    f(一x)=一f(x)，
       
故F(x)为偶函数．
    解二  令，则可排除(B)；
    令f(x)=1，F(x)=x，则可排除(C)；
    令f(x)=x，，则可排除(D)；
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考研数学二

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