n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt等价的充分必要条件是

admin2019-08-11  44

问题 n维向量组(Ⅰ)α1,α2,…,αs和(Ⅱ)β1,β2,…,βt等价的充分必要条件是

选项 A、r(Ⅰ)=r(Ⅱ),并且s=t.
B、r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=n.
C、r(Ⅰ)=r(Ⅱ),并且(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示.
D、(Ⅰ)和(Ⅱ)都线性无关,并且s=t.

答案C

解析 (Ⅰ)与(Ⅱ)等价的充分必要条件是r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ).
    选项A缺少条件r(Ⅰ,Ⅱ)=r(Ⅰ).
    选项B是(Ⅰ)与(Ⅱ)等价的一个充分条件,但是等价并不要求向量组的秩达到维数.
    选项D(Ⅰ)和(Ⅱ)都无关不能得到它们互相可以线性表示,例如
    (Ⅰ):α1=(1,0,0,0),α2=(0,1,0,0),(Ⅱ):β1=(0,0,1,0),设β2=(0,0,0,1).
    (Ⅰ)和(Ⅱ)都无关,并且s=t=2,但是(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价.
    选项C(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示,则r(Ⅱ)=r(Ⅰ,Ⅱ).
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