设F(x)可导,下述命题: ①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数; ②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数; ③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数. 正确的个数是 ( )

admin2018-07-23  62

问题 设F(x)可导,下述命题:
①Fˊ(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数;
②Fˊ(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数;
③Fˊ(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数.
正确的个数是    (    )

选项 A、0个.
B、1个.
C、2个.
D、3个.

答案B

解析 ②是正确的,证明如下:设Fˊ(x)= f(x)为奇函数.则
φ(x)=∫0xf (t)dt
必是偶函数.证明如下:
φ(-x)=∫0-xf (t)dt=∫0xf(-t)(-dt)=∫0xf(t)dt=φ(x).
又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)+C的形式,所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数.必要性证毕.
设F(x)为偶函数:
F(x)=F(-x),
两边对x求导,得
Fˊ(x)= -Fˊ(-x),
所以Fˊ(x)为奇函数,充分性证毕.
①是不正确的.反例:(x3+1)ˊ=3x2为偶函数,但x3+1并非奇函数,必要性不成立.
③是不正确的.反例:(sin x+x) ˊ=cosx+1为周期函数,但sin x+x不是周期函数,必要性不成立.
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