证明：对任一多项式p(x)，一定存在x1与x2．使p(x)在(-∞，x1)与(x2，+∞)内分别严格单调．

admin2022-11-23 16

问题证明：对任一多项式p(x)，一定存在x₁与x₂．使p(x)在(-∞，x₁)与(x₂，+∞)内分别严格单调．

选项

答案设p(x)=a₀xⁿ+a₁x^n-1+…+a_n-1x+a_n，n=1，2，…，a₀≠0．不妨设a₀＞0．则 P’(x)=na₀x^n-1+(n-1)a₁x^n-2+…+a_n-1．当n为偶数时，n-1为奇数，此时有 [*] 故存在x₁＜0，x₂＞0，使得当x＜x₁时．p’(x)＜0，当x＞x₂时，p’(x)＞0．于是p(x)在(-∞,x₁)内严格递减，在(x₂，+∞)内严格递增．当n为奇数时，n-1为偶数，则[*]，故存在x₀＞0，使得当｜x｜＞x₀时，p’(x)＞0，令x₁=-x₀，x₂=x₀，则p(x)在(-∞,x₁)与(x₂，+∞)内分别严格递增，

解析

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考研数学一

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