已知矩阵A＝与B＝相似． (Ⅰ)求χ，y，z的值； (Ⅱ)求可逆矩阵P，使P-1AP＝B．

admin2017-11-09 42

问题已知矩阵A＝

与B＝

相似．
(Ⅰ)求χ，y，z的值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P，使P^-1AP＝B．

选项

答案(Ⅰ)实对称矩阵A的特征多项式为｜λ－A｜＝(λ－1)²(λ－3)，故A的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝3．于是，A与对角矩阵[*]相似，又因为A与B相似，故B也与对角矩阵[*]相似，因此，B的特征值为λ₁＝λ₂＝1，λ₃＝3，且R(E－B)＝1，又因为χ＋5＝λ₁＋λ₂＋λ₃＝5，得χ＝0．由 E－B＝[*] 得y＝－2，z＝3． (Ⅱ)经计算可知，将实对称矩阵A化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P₁＝[*]，即 P₁^-1AP₁＝[*] 把矩阵B化为对角矩阵的相似变换矩阵可取为P₂＝[*]，即 [*] 则P^-1AP＝P₂P₁^-1AP₁P₂^-1＝P₂[*]P₂^-1＝B．

解析

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考研数学三

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