设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f’"(ξ)=3.

admin2015-07-22  37

问题 设f(x)在闭区间[一1,1]上具有三阶连续导数,且f(-1)=0,f(1)=1,f’(0)=0,证明:在[一1,1]内存在ξ,使得f’"(ξ)=3.

选项

答案f(x)=f(x0)+f’(x0)(x—x0)+[*] (x0)(x—x0)2+[*] (η)(x—x0)3.取x0=0,x=1代入, f(1)=f(0)+[*]f"(0)(1—0)2+[*]f"(η1)(1—0)3,η1∈(0,1). ① 取x0=0,x=-1代入, [*] 因为f"(x)在[一1,1]上连续,则存在m和M,使得[*]∈[一1,1],有m≤f"(x)≤M, m≤f"’(η1)≤M,m≤f"’(η2)≤[*] [f"’(η1)+f"’(η2)]≤M, ④ ③代入④式,有m≤3≤M,由介值定理,[*]∈E-1,1],使得f"’(ξ)=3.

解析
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