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  3. 两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______，它们的二面角的平分面方程为______

两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______，它们的二面角的平分面方程为______

admin2017-12-11  24
问题 两平面x-2y+2z-4=0与2x-y-2z-5=0的交角φ=______，它们的二面角的平分面方程为______
选项
答案[*]；x+y-4z-1=0及x-y-3=0
解析 x-2y+2z-4=0的法向量可写为n1=(1，-2，2)，2x-y-2z-5=0的法向量n2=(2，-1，-2)．

    求二面角的角平分面方程的方法有多种．
    方法一  用平面束方程：
    x-2y+2z-4+λ(2x-y-2z-5)=0，
即(2λ+1)z-(λ+2)y+(2-2λ)z-4-5λ=0．
它与平面x-2y+2z-4=0的二面角等于它与平面2x-y-2z-5=0的二面角．由夹角公式可得
    ｜2λ+1+2(2+λ)+2(2-2λ)｜=｜2(2λ+1)+(2+λ)-2(2-2λ)｜，
即9=｜9λ｜，所以λ=±1，相应的两个平面如上所填．
    方法二  设点P(x，y，z)为要求的平分面上任意一点，则该点到两平面的距离相等，即

即
   x-2y+2z-4=±(2x-y-2z-5)，
化简即得如上所填．
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