[2011年] 微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

admin2019-05-10 61

问题 [2011年] 微分方程y′+y=e^-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

选项

答案利用式(1．6．1．2)求出通解，再由y(0)=0得特解，也可直接利用式(1．6．1．3)求解．因方程右端含e^-x因子，还可用凑导数法求之．解一注意到y′+y=y′+(x)′y=e^-xcosx，在其两边乘上e^x得到 y′e^x+e^xx′y=e^xe^-xcosx=cosx，即(ye^x)′=cosx．两边积分得到 ye^x=∫cosxdx+C=sinx+C，即 y=e^-xsinx+Ce^-x．由y(0)=0，得到c=0，故所求特解为y=e^-xsinx．解二所求的特解为满足初值问题[*]的解，其解由式(1．6．1．3)直接得到，其中P(x)=1，Q(x)=e^-xcosx，故 y=e^{-∫₀^xP(x)dx}(∫₀^xQ(x)e^{∫₀^xP(x)dx}dx+0)=e^{-∫₀^xdx}(∫₀^xe^-xcosxe^{∫₀^xdx}dx) =e^-x(∫₀^xe^-xe^xcosx dx)=e^-x∫₀^xcosxdx=e^-xsinx．

解析

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考研数学二

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[2011年] 微分方程y′+y=e-xcox满足条件y(0)=0的解为．y=________．

考研数学二

证明：，其中a＞0为常数．

设函数y＝y(χ)由方程组确定，求

设向量组(Ⅰ)α1，α2，α3；(Ⅱ)α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)α1，α2，α3，α5，若向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)的秩为3，而向量组(Ⅲ)的秩为4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．

设A为n阶矩阵，α1，α2，α3为n维列向量，其中α1≠0，且Aα1＝α1，Aα2＝α1＋α2，Aα3＝α2＋α3，证明：α1，α2，α3线性无关．

求函数f(χ)＝＝(2－t)e-tdt的最大值与最小值．

设f(χ)二阶连续可导且f(0)＝f′(0)＝0，f〞(χ)＞0．曲线y＝f(χ)上任一点(χ，f(χ))(χ≠0)处作切线，此切线在χ轴上的截距为u，求．

设A，B为三阶矩阵，且AB=A-B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：AB=BA；

设L：y=sinx(0≤x≤)．由x=0，L及y=sint围成面积S1(t)；由y=sint，L及x=围成面积S2(t)，其中0＜t＜t取何值时，S(t)=S1(t)+S2(t)取最大值?

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