已知以2,π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)= (sinx-1)2f(x),证明使得F"(x0)=0.

admin2019-06-28  59

问题 已知以2,π为周期的周期函数f(x)在(-∞,+∞)上有二阶导数,且f(0)=0.设F(x)= (sinx-1)2f(x),证明使得F"(x0)=0.

选项

答案显然F(0)=[*]=0,于是由罗尔定理知,[*],使得F’(x1)=0.又 F’(x)=2(sinx-1)f(x)+(sinx-1)2f’(x), [*] 对F’(x)应用罗尔定理,由于F(x)二阶可导,则存在x0*∈[*],使得F"(x0*)=0. 注意到F(x)以2π为周期,F’(x)与F"(x)均为以2π为周期的周期函数,于是[*],使得 F"(x0)=F"(x0*)=0.

解析
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