(1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理; (2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理.

admin2019-08-06  37

问题 (1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理;
(2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理.

选项

答案(1)罗尔定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b),则至少存在一点ξ∈(a,b)使f’(ξ)=0. 证明:由于f(x)在[a,b]上连续,所以f(x)在[a,b]上存在最大值M和最小值m. ①如果M=m,则f(x)≡C,从而f’(x)≡0,任取ξ∈(a,b)均有f’(ξ)=0. ②如果M>m,由于f(a)=f(b),所以M或m中至少有1个在开区间(a,b)内取到,即在(a,b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值).由费马定理知,在对应点x=ξ∈(a,b)处,f’(ξ)=0. (2)拉格朗日中值定理:设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则至少存在一点ξ∈(a,b),使 f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a). 证明:令φ(x)=f(x)一[*](x一a),则φ(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 φ(a)=f(a),φ(b)=f(a),故φ(a)=φ(b), 所以φ(x)在[a,b]上满足罗尔定理条件,从而知至少存在一点ξ∈(a,b)使φ’(ξ)=0.即 [*] 即f(b)一f(a)=f’(ξ)(b-a).证毕.

解析
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