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  3. (1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理； (2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理．

(1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理； (2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理．

admin2019-08-06  30
问题 (1)叙述并证明一元函数微分学中的罗尔定理；
(2)叙述并证明一元函数微分学中的拉格朗日中值定理．
选项
答案(1)罗尔定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一点ξ∈(a，b)使f’(ξ)=0． 证明：由于f(x)在[a，b]上连续，所以f(x)在[a，b]上存在最大值M和最小值m． ①如果M=m，则f(x)≡C，从而f’(x)≡0，任取ξ∈(a，b)均有f’(ξ)=0． ②如果M＞m，由于f(a)=f(b)，所以M或m中至少有1个在开区间(a，b)内取到，即在(a，b)内f(x)可取到极值(极大值或(和)极小值)．由费马定理知，在对应点x=ξ∈(a，b)处，f’(ξ)=0． (2)拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使 f(b)一f(a)=f’(ξ)(b一a)． 证明：令φ(x)=f(x)一[*](x一a)，则φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且 φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)， 所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0．即 [*] 即f(b)一f(a)=f’(ξ)(b-a)．证毕．
解析
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考研数学三

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