欧拉方程x2y’’＋xy’’－4y＝x3的通解为_________．

admin2022-09-08 30

问题欧拉方程x²y’’＋xy’’－4y＝x³的通解为_________．

选项

答案[*]

解析【思路探索】利用欧拉方程固有的求解方法即可．
令

记

，则

原方程化为[D(D－1)＋D－4]y＝e^3t，即
(D²－4)y＝e^3t (*)
方程(*)对应的齐次方程的特征方程为r²－4＝0，有根r₁＝2，r₂＝－2，故齐次方程的通解为

因为f(t)＝e^3t，λ＝3不是特征方程的根，故可令y^*＝ae^3t是方程(*)的一个特解，代入原方程x²y’’＋xy’－4y＝x³中，解得a＝1／5，即y^*＝1／5e^3t，因此原方程的通解为

故应填

【错例分析】有时考生没有将解出的通解转变回以x为变量的形式，导致错误．

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考研数学一

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